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gehe zu: Wechselstromphysik 8 Leistung im Wechselstromkreis Vorbemerkungen Wir knüpfen mit diesem Kapitel an unsere
Bemerkungen zu den Effektivwerten
an. Dort haben wir die Leistung graphisch betrachtet. Jetzt wollen wir einmal eine mathematische
Herleitung vornehmen. Es wird sich zeigen, dass man die
Wechselstromleistung aus einem konstanten Anteil (= mittlere Leistung) und
einem zeitlich veränder- lichen Teil zusammensetzen
kann. Es findet zunächst die allgemeine
mathematische Herleitung statt. Danach wird auf die einzelnen Bauelemente und
Verschaltungen im Detail eingegangen. Wir werden uns dabei
im Wesentlichen im Physikalischen aufhalten und nur kleine
Ausflüge in den Bereich der Elektrotechnik machen. Mathematische
Betrachtung der Momentanleistung Ausgangspunkt
ist unsere allgemeine Formel für die Leistung, nämlich P = U ∙
I. Im Wechselstrombereich muss diese aber zeitlich betrachtet werden, da U
und I von der Zeit abhängen. Die Leistung ist also eine zeitlich
veränderliche Größe im Wechselstrom, ganz anders als beim Gleichstrom. Es gilt
also:
Dies wäre also die Momentanleistung zu einem
bestimmten Zeitpunkt Der hintere Term entspricht im Wesentlichen
der Kosinus-Funktion, d.h. wir haben genauso viel Fläche oberhalb
wie unterhalb der t-Achse, somit ergibt sich im Mittel keine
verrichtete Arbeit (s.
Effektiv- werte). Es wird an dem Stromkreis Arbeit verrichtet (positive Fläche), aber genauso viel wird wieder zur Quelle
zurückgeführt (negative Fläche). Hieraus ergibt sich im Mittel keine
verrichtete Arbeit, also die Wirkleistung Der vordere Term ist dagegen konstant und
hängt nicht von der Zeit ab, also bleibt dieser bei einer Mittelung über die Zeit übrig. Die mittlere Leistung
oder Durchschnittsleistung im
Wechselstromkreis entspricht also diesem Term. Man nennt diese Leistung auch Wirkleistung.
Gehen wir jetzt einmal auf die einzelnen
Bauelemente und Schaltun- Ohmscher
Widerstand Beim Ohmschen
Widerstand galt (s. Kapitel 5). U(t) = Umax
∙sin(ωt) und I(t)
= Imax ∙ sin(ωt) also keine Phasenverschiebung (ρ = 0). Betrachten wir mal das Beispiel: Umax = 8 V und Imax
= 8 A. Dann sieht der Leistungsverlauf folgendermaßen aus:
rot: P(t); lila: Pw
; grün: hinterer Term; oben rechts: Funktionsterme Erläuterung: Die momentane Leistung liegt immer im
Positiven, d.h. es wird laufend Arbeit am Stromkreis verrichtet. Dies ist
zumeist Wärmearbeit am Widerstand. Die Wirkleistung ist konstant und hat den
Wert, den wir schon im Be- reich Induktion
über Flächenvergleiche bestimmt haben. Der variable Teil hat genauso viele
Flächenanteile oberhalb wie unter- Induktiver
Widerstand (Spule) Hier gilt U(t) = Umax
∙sin(ωt) und I(t)
= Imax ∙ sin(ωt
− ½ π) ρ = ½ π → Die Spannung läuft
voraus (s. Zeigerdiagramm). Wir nehmen dieselben Werte wie oben.
Man sieht es gibt keine Wirkleistung („lila“
auf der t-Achse). Man spricht von einer Blindleistung. Insgesamt
wird keine Arbeit verrichtet am Stromkreis. Man kann der Blindleistung auch einen festen
Wert zuweisen (s. hierzu Exkurs am Schluss) Kapazitiver
Widerstand Hier gilt U(t) = Umax
∙sin(ωt) und I(t)
= Imax ∙ sin(ωt
+ ½ π) ρ = − ½ π → Die
Spannung läuft hinterher (s. Zeigerdiagramm). Wir nehmen dieselben Werte wie oben.
Ähnliche Verhältnisse
wie bei der Spule, was die Leistung betrifft. RCL−Reihenschaltung Hier wird im Beispiel einfach ρ = ¼
π angenommen.
Hier liegt der Fall nicht mehr so einfach, da
mehr Flächenanteile von P(t) oberhalb als unterhalb liegen. Es muss
also Leistung an den Stromkreis abgegeben worden sein. Somit gibt es
eine Wirkleistung (lila) und eine Blindleistung (grün). Da die Momentanleistung z.T. sehr hoch sein
kann, muss diese be- rücksichtigt werden, weil
Bauelemente im Stromkreis beschädigt werden könnten. Zur Wirk- und Blindleistung
kommt dann die Schein- leistung als weiterer Begriff
hinzu. Exkurs:
Wirk−, Blind− und Scheinleistung Über die Wirkleistung haben wir schon
besprochen. Sie ergibt sich aus dem Term PW = Ueff
∙ Ieff ∙ cos(ρ). Schauen wir uns einmal an, was dies im
Zeigerdiagramm bedeutet.
Erläuterung: Wir haben einen um die Phase φ
verschobenen Strom vorliegen. Zerlegen wir den Stromvektor mal in zwei
Komponente, eine parallel zu U und die andere senkrecht zu U. Dann
sieht man, dass die parallele Komponente zur Wirkleistung
beiträgt, während die andere Komponenten keinen Wirkbeitrag leistet. Dies
wäre also die Kompo- nente für die
Blindleistung. Die Blindleistung wird somit festgelegt mit
Beides zusammen ergibt die Scheinleistung.
Zwischen den Leistungen ergibt sich folgender
Zusammenhang.
Häufig wird auch ein Leistungsdreieck
gezeichnet.
Hinweis: Wer noch an weiteren Informationen
zu den verschiedenen Leistungen und den Konsequenzen für Wechselstromkreise interesssiert ist, sollte sich entsprechende Standard- werke der Elektrotechnik besorgen. gehe zu: zurück zum
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