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Wechselstromphysik 10 Technische Anwendungen: Resonanz: 1.Mittelpass − 2.Bandsperre Wir kommen
in diesem Kapiteln zurück zu den komplexen Fällen von RCL−Kreisen
sowohl in Reihen− als auch in Parallelschaltung. Es handelt sich
um erzwungene Schwingungen, da noch eine Außen- quelle
vorliegt. Im Gegensatz
zu Kapitel 9 (Tief− und Hochpass)
wird hier nicht ein ganz breiter
Frequenzbereich ausgesperrt, sondern es geht nur um einen
begrenzten Frequenzbereich. Man kombiniert sozusagen den Tiefpass
mit dem Hochpass und erhält dann mittig einen schma- len
Frequenzbereich, in dem die Stromstärke besonders hoch bzw. niedrig ist.
Diese Frequenz nennt man Resonanzfrequenz und den Bereich
„Resonanz“. Wir werden hierauf noch im Detail bei dem freien Schwingkreis (ohne Außenquelle) eingehen. 1. RCL−Reihe:
Mittelpass Wir
wiederholen kurz noch einmal die wichtigste Formel zur RCL- Reihenschaltung.
Dies ist die Formel zur Impedanz.
Schauen wir
uns einmal die Impedanz in Abhängigkeit von der Frequenz der
äußeren Spannungsquelle an. (Phywe-Spule: n = 1200, L = 35 mH;
C = 1 µF, R = 12 Ω)
Man erkennt
sofort, dass die Impedanz von der Frequenz abhängt. Dies ist
natürlich klar, weil die Impedanz von Kondensator und Spule frequenzabhängig
ist. Bei niedrigen Frequenzen hat der Konden- sator einen hohen
Widerstand. Bei hohen Frequenzen liegt der Spulenwiderstand
hoch. Dazwischen gibt es einen Bereich mit einem besonders
geringem Widerstand. Hier liegt nur noch der Ohmsche Widerstand
vor. Die Impedanzen von Kondensator und Spule heben sich
gegenseitig auf. Man spricht dann vom Resonanzfall, weil hier die Stromstärke im Stromkreis besonders groß ist. Berechnung
der Resonanzfrequenz Wenn man
sich die Formel für die Impedanz ansieht, erhält man den niedrigsten
Wert (also Resonanz), wenn XC = XL ist, weil dann das Quadrat aus
der Klammer den Wert Null hat. Somit bleibt dann X=R übrig. Es gilt also
Man spricht
von der Resonanzfrequenz oder Thomsonschen Schwingungsformel.
(Hinweis:
dieser Formel werden wir bei den freien Schwingungen noch einmal begegnen) Für unser
obiges Beispiel erhält man für fR =
850,7 Hz, was mit dem Verhalten
der Spannungen Gehen wir
einmal so vor, wie bei Hoch- und Tiefpass (s.
Kapitel 9). Zunächst die
Schaltskizze. Wir wollen die Abgangsspannung am Widerstand R
abgreifen.
Für das
Verhältnis zwischen UA zu UE ergibt sich.
Der
funktionelle Zusammenhang anhand unseres Beispiels (s.o.) sieht dann
folgendermaßen aus.
Man sieht,
dass am Anfang und Ende wenig Spannung übertragen werden kann.
Erst in der Mitte findet eine vollständige Übertragung statt.
Deshalb könnte man hier von einem „Mittelpass“ in Analogie zu Hoch- und
Tiefpass sprechen, da mittlere Frequenzen durch- gelassen
werden. Die übliche Benennung ist aber Saugkreis oder Bandpass. Begründung
für den Verlauf: Bei geringen
Frequenzen liegt beim Kondensator ein großer Wider- stand vor.
Es fließt nur eine geringe Stromstärke, damit ist die Span- nung an R
gering. Bei hohen
Frequenzen weist die Spule einen hohen Widerstand auf, also ist
auch hier die Stromstärke und damit die Spannung UR gering. Dazwischen
gibt es allerdings eine Frequenz, bei der sich die Im- pedanzen genau
aufheben. Dann spielt nur noch R eine Rolle und die
Stromstärke ist sehr hoch und somit auch UR. UR
entspricht dann U0.
Die Spannungen von Spule und Kondensator heben sich übrigens in diesem Fall
gerade genau auf, da sie um 180° versetzt zueinander sind (s.
Zeigerdiagramm Kap.6). Beispielrechnung Vorgaben: R
= 12 Ω, L = 35 mH; C = 1 µF, R = 12 Ω ; U0 = Umax
= 10 V 1. Fall:
Resonanzfrequenz (fR = 850,7 Hz) XC
= 1/(ω∙C) = 187,1Ω = ω∙L = XL → XG = 12
Ω (s.o. Formel) IG
= U0/XG = 10 V / 12 Ω = 0,83 A → UR
= IG ∙ 12 Ω = 10 V → UA/UE
= UR/U0 = 1 (s. Diagramm) 2. Fall: ( f = 600 Hz) XC
= 1/(ω∙C) = 265,3 Ω ≠ 131,9 Ω
= ω∙L = XL → XG
= 133,9 Ω IG
= U0/XG = 0,075 A UR
= IG ∙ 12 Ω = 0,9 V → UA/UE
= UR/U0 = 0,09 passt zum Diagramm Kondensator
bestimmt, was passiert → kapazitiver Bereich 3. Fall: (f
= 1000 Hz) XC
= 1/(ω∙C) = 159,2 Ω ≠ 219,9 Ω
= ω∙L = XL → XG
= 61,9 Ω IG
= U0/XG = 0,16 A UR
= IG∙12 Ω = 1,92 V → UA/UE
= UR/U0 = 0,192 passt zum Diagramm Spule bestimmt, was passiert → induktiver Bereich Anwendungen Je nachdem,
wie man den Resonanzkreis an einen Schaltkreis anschließt, kann
er Frequenzen um fR durchlassen (Bandpass, Mittelpass)
oder Frequenzen um fR herausfiltern
(Ableiten zur Erde, Saugkreis).
Dies findet vor allem bei Frequenzweichen von Laut- sprecherboxen
Verwendung. Man kann aber
auch Hochspannungen abgreifen, weil an Spule und Kondensator
deutlich höhere Spannungen auftreten können als an der
Eingangsspannung. Zum
Nachrechnen nehmen wir auch noch einmal das obige Beispiel. (Annahme: U0
= UE = Maximalwert der Eingangsspannung = 10 V) fR = 850,7 Hz,
C = 1 µF, L = 35 mH, R = 12 Ω → I0
= UR/R = UE/R = 10 V / 12 Ω = 0,83 A UC
= UL = I0 ∙ ω ∙ L = 0,83 A ∙ 2 ∙
π ∙ 850,7 Hz ∙ 0,035 H = 155,3 V = 15,53 mal U0 → U0 wird also
deutlich erhöht! 2. Sperrkreis
oder Bandsperre Wir
wiederholen auch hier zunächst die Formel für die Impedanz im RCL−Parallelkreis. Es gilt:
Auch hier
zunächst ein Diagramm, welches die Impedanz in Ab- hängigkeit von der
Frequenz zeigt. (R = 12 Ω,
C = 50 µF, L = 1 mH)
Auch hier
hängt die Impedanz von der Frequenz ab. Hier ist aller- dings die
Impedanz bei der Resonanzfrequenz am größten und ent- spricht dem Ohmschen Widerstand. Da ω
bei L im Nenner steht, wird dieser Bruch bei kleinen Frequenzen sehr groß
und spielt zunächst eine große Rolle (induktiver Bereich). Bei hohen
Frequenzen kommt das ω bei C zum Tragen. Für große Frequenzen sind
wird daher im kapazitiven Bereich. In der Mitte
gibt es eine Frequenz, bei der die Klammer mit C und L Null wird,
dann trifft nur noch R zu, X erhält dann der Wert R. Der Ansatz
1/XL = 1/XC , also 1/(ω∙L) = ω∙C
führt zu derselben Formel für
die Resonanzfrequenz wie bei der Reihenschaltung. Es gilt auch
hier die Thomsonsche Schwingungsformel. Im konkreten
Beispiel erhält man fR = 711,7 Hz, was
im obigen Dia- Verhalten
der Stromstärke Die
Schaltskizze hat hier folgenden Aussehen.
Im Gegensatz
zur Reihenschaltung macht es bei der Parallel- schaltung keinen Sinn
sich die Spannung anzusehen, da diese ja überall
gleich groß ist. Wir werden uns
also hier das Verhältnis der Stromstärken betrachten und wie im Kapitel. 7 vorgehen.
Sehen wir
uns einmal das zugehörige Diagramm IG/IR für das obige Beispiel an ( R = 12 Ω, L = 1 mH, C =
50 µF).
Erläuterung: Nach dem Diagramm
für die Impedanz ergibt sich sofort, dass bei der Resonanzfrequenz
natürlich die geringste Stromstärke im Stromkreis vorliegen
muss. Der Strom fließt dann nur durch den Ohmschen Widerstand.
Bei niedrigeren oder höheren Frequenzen kommt auch der Strom
durch die Spule bzw. den Kondensator zum Tragen. Bei
niedrigen Frequenzen wird der induktive Teil in der Formel sehr groß. Es
fließt ein großer Strom durch die Spule. Bei hohen Fre- quenzen hat man
einen hohen Stromfluss durch den Kondensator. Bei der
Resonanzfrequenz heben sich die Ströme durch Spule und Kondensator
gegenseitig auf, da sie um 180° verschoben sind. Es zählt nur
noch der Strom durch R. Bei der
Resonanzfrequenz sperrt also der Parallelkreis. Daher wird er auch Sperrkreis oder Bandsperre genannt. Beispielrechnung Vorgaben: R
= 12 Ω, L = 1 mH, C = 50 µF, U0 = Umax = 10 V 1. Fall:
Resonanzfrequenz (fR = 711,7 Hz) XC
= 1/(ω∙C) = 4,47 Ω = ω∙L = XL U0
= UC = UL = UR = 10 V IC
= Uc ∙ ω ∙ C = 2,24 A =
UL/(ω∙L) = IL =
Maximalwert der Stromstärke, aber der
Verlauf um 180° verschoben, also heben sich beide auf. IR
= UR/R =0,8333 A 2. Fall (f =
200 Hz) XC
= 15,9 Ω; XL = 1,3 Ω; IC = 0,63 A, IL =
7,69 A, IR = 0,83 A IG
= 7,1 A (s.o.: Quadratgleichung) → IG/IR = 8,6
passt zum Diagramm, Spule
bestimmt, was passiert → induktiver Bereich 3. Fall ( f = 1400 Hz) XC
= 2,27 Ω; XL = 8,80 Ω; IC = 4,41 A, IL
= 1,14 A, IR = 0,83 A IG
= 3,37 A → IG/IR = 4,1 passt → kapazitiver
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