Schwingungsdauer – E-Phase

Zunächst einmal schauen wir uns die Projektion einer Kreisbewegung an und klären den Zusammenhang zur harmonischen Schwingung. Projektion bedeutet, dass man sich den Schattenwurf einer gleichförmigen Kreisbewegung ansieht.

Hierzu gibt es ein nettes Video, welches auch schon zeigt, dass der Schattenwurf, also die Projektion, etwas mit der harmonischen Schwingung zu tun hat. (Rechtsklick: „in neuem Fenster öffnen“)

Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=ZZiE8KbkTuw

An folgender Abbildung soll dies mathematisch exakt geklärt werden:

In der Mitte befindet sich eine Masse, die sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt.

Diese Kreisbewegung wird von links mit parallelem Licht bestrahlt, so dass an der Wand ein Schattenwurf (eine Projektion) der Kreisbewegung zu sehen ist. Die Frage ist, ob die Bewegung des Schattenpunktes eine harmonische Schwingung darstellt.

Zur Erinnerung: (s. harmonische Schwingung)

Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die Rückstellkraft proportional zur Elongation ist, d.h. F_R = - D · s gilt.

Wir müssen also zeigen, dass dieser Zusammenhang besteht. Was ist aber die Rückstellkraft im Schattenwurf. Dies ist natürlich die Kraftkomponente der Zentripetalkraft F_Z , die als Schattenwurf auf die Wand projiziert wird. In der Abbildung ist das die blaue Kraftkomponente.

Es gilt nun Folgendes:

Zunächst wurde jetzt gezeigt, dass die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung eine harmonische Schwingung ist. Wie hilft uns dies weiter, um eine Formel für die Schwingungsdauer zu gewinnen?

Dazu stellen wir uns einmal vor, die Masse würde einen vollständigen Kreis umlaufen, wobei wir die Uhr starten, wenn die Masse sich auf der Nullpunktslinie, also in der Projektion in der Ruhelage, befindet. Wenn die Masse einen vollständigen Kreis beschreibt, ist in der Projektion, also bei der harmonischen Schwingung, eine vollständige Schwingung ablaufen. Dies bedeutet, dass die Umlaufdauer des Kreises der Schwingungsdauer entspricht.

Wir können unser Wissen über gleichförmige Kreisbewegungen dazu nutzen die Schwingungsdauer auszurechnen.

Es ergibt sich Folgendes:

Zusammenfassend ergibt sich also:

Die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung lässt sich bestimmen mit der Formel

wobei gilt

m = Masse des schwingenden Körpers

D = Richtgröße

Schwingungsdauer: Federpendel und Fadenpendel

Die häufigsten harmonischen Schwingungen sind die Schwingung des Federpendels und des Fadenpendels (bei kleinem Auslenkungswinkel). Hier kennen wir auch die Richtgröße D.

Es gilt:

Bewegungsgleichung

Um zur Bewegungsgleichung zu kommen, gehen wir noch einmal zur Herleitung der Rück-

stellkraft zurück. Hier steht eine Formel für s(t), mit der wir weiterarbeiten können.

Somit gilt also Folgendes für die Bewegungsgleichung: