Impuls

Wir werden die Größe „Impuls“ anhand von Stoßvorgängen untersuchen.

Bei Stößen prallen in der Physik Massen aufeinander.

Zunächst einige Fachbegriffe hierzu:

Fachbegriffe

elastischer Stoß:

bei diesem Stoß bilden sich alle Verformungen, die beim Aufprall auftreten, wieder zurück. Die Körper sehen also nach dem Stoß genauso aus wie vor dem Stoß

(Stahlkugeln, Billardkugeln, Curlingsteine)

unelastischer Stoß:

bei diesem Stoß verändern sich die Körper. Sie weisen z.B. dauerhafte Verformungen auf

(Unfall zweier PKWs, Zusammenprall zweier Knetmassen)

Sonderfall beim unelastischen Stoß: der vollkommen unelastische Stoß

Nach dem Aufprall bleiben die Körper zusammen

(gekoppelte Züge, Zusammenprall mit Klettverschlüssen)

zentraler Stoß:

die Schwerpunkte beider Körper bewegen sich vor und nach dem Stoß auf einer gemeinsamen Geraden, nämlich der Verbindung der

Schwerpunkte (s. Abb.)

schiefer Stoß:

wenn sich die Körperschwerpunkte nicht auf der gemeinsamen Verbindungslinie bewegen. liegt ein schiefer Stoß vor (s. Abb.)

Wir kennen schon den Energieerhaltungssatz. Er ist ein zentraler Satz, um

einige Eigenschaften von Körpern ohne großen Rechenaufwand bestimmen

zu können, wie z.B. Geschwindigkeit und Höhe.

Wie verhält es sich aber mit dem Energieerhaltungssatz bei dem vollkommen

unelastischen Stoß?

Wir betrachten folgende Beispiel:

Zwei völlig gleiche Kugeln aus Knetmasse bewegen sich mit gleicher Ge-

schwindigkeit aufeinander zu. Sie stoßen zentral. Die Kugeln bleiben dann

nach dem Stoß zusammen und bewegen sich nicht mehr.

Folgende Animation zeigt dies an Wagen, die aneinanderkoppeln

Quelle: Elastischer und unelastischer Stoß (walter-fendt.de)

Hinweis: Man wählt „unelastischer Stoß mit gleichen Massen“. Der zweite Wagen hat die gleiche Geschwindigkeit

wie der erste Wagen, nur mit einem negativen Vorzeichen. Dann erkennt man, dass die Wagen nach dem Stoß

stehen bleiben.

Im Folgenden sieht man einmal ein Video der Animation mit solchen Vorgaben. Hinweis: leider habe ich kein Video gefunden, in dem dieser Fall (z.B. auf einer Luftkissenfahrbahn) gezeigt wird.

Betrachten wir die Situation einmal aus energetischer Sicht.

Energetisch gilt also, dass vor dem Stoß nur kinetische Energie vorlag. Nach dem Stoß bewegen sich die Massen nicht mehr, also ergibt sich:

vor dem Stoß: E_G = 2 ∙ E_kin = 2 ∙ ½ ∙ m ∙ v²

nach dem Stoß: E_G = 0 J ????

Das sieht ein bisschen merkwürdig aus, weil ja der Energieerhaltungssatz verletzt

zu sein scheint. Allerdings muss man bedenken, dass es ja nicht nur mechanische

Energien (potentielle, kinetische und Spannenergie) gibt, sondern auch innere

Energien, die jetzt nach dem Zusammenprall auftreten.

Hinweis: Mehr hierzu findet man in folgendem Link: https://www.youtube.com/watch?v=qRMnpV5E5J8

Die innere Energie ist leider schwer messbar. Deshalb ist man bemüht eine

weitere Größe einzuführen, mit der man die Bewegung nach dem Stoß auf

einfache Art beschreiben kann. Dies ist die Größe „Impuls“.

Im Folgenden leiten wir einmal die neue Größe her, indem wir wieder auf Newton

zurückkehren. Newton hat uns ja gelehrt, dass man mit seinen drei Axiomen, die

gesamte Mechanik erklären kann. Wir bedienen uns des dritten Axioms von

Newton. Es wird zur Herleitung ein elastischer Stoß betrachtet.

Hinweis: Wir haben so einen elastischen Fall schon im Kapitel zum dritten Newtonschen Axiom betrachtet.

Herleitung der Größe „Impuls“

Ausgangspunkt: elastischer Stoß zweier Massen ( s. Abb.)

Beachte: die Geschwindigkeiten vor dem Stoß werden mit dem Buchstaben „v“ bezeichnet, die Geschwindigkeiten nach dem Stoß erhalten den Buchstaben „u“.

Wir setzen an mit dem 3.ten Axiom von Newton. Es ergibt sich also (auf die

vektorielle Schreibweise achten):

Wie man leicht erkennt, gibt es offensichtlich beim Stoßvorgang

eine neue Erhaltungsgröße, die aus dem Produkt

„Masse ∙ Geschwindigkeit“ besteht. Diese Größe wird Impuls

genannt und ist ein Vektor.

Wir können also definieren:

Für den Impuls gilt (wie für die Energie) ein Erhaltungssatz.

Impulserhaltungssatz

In einem geschlossenen System gilt der Impuls-erhaltungssatz, d.h. der Gesamtimpuls ändert sich in dem

System nicht, sondern ist konstant.

Dieser Erhaltungssatz kann immer auf Stoßvorgänge ange-

wendet werden.

Wir gehen noch einmal auf unsere Fachbegriffe zurück und schauen jetzt,

welche Erhaltungssätze Anwendung finden.

elastischer Stoß: Energieerhaltung (kinetisch) + Impulserhaltung

unelastischer Stoß: nur die Impulserhaltung gilt

vollkommen unelastisch: nur Impulserhaltung mit u₁ = u₂ = u

Wir rechnen jetzt einmal zwei Beispielaufgabe mit dem Impulserhaltungssatz

(noch ohne die Formeln s.u.)

Beispielaufgaben

1. Aufgabe: Billardkugeln (also elastischer Stoß)

Zwei Billardkugeln treffen in gerader Linie (zentral) aufeinander. Die erste

Kugel hat eine Geschwindigkeit von v₁ = 50 cm/s, die zweite eine Ge-

schwindigkeit von v₂ = 80 cm/s. Die Masse von Billardkugeln beträgt

170 g.

Die zweite Kugel stößt auf die erste Kugel (s. Abb.).

Welche Geschwindigkeiten u₁ bzw. u₂ liegen nach dem Stoß vor?

Lösung:

Da ein elastischer Stoß vorliegt kann man sowohl den Impulserhaltungs-

satz als auch den Energieerhaltungssatz benutzen.

2. Aufgabe:

Zwei Massen aus Knete werden gegeneinander geworfen. Die Massen

kleben nach dem Stoß zusammen.

Es liegt also ein vollkommen unelastischer Stoß vor (s. Animation-Video).

Der Erhalt der kinetischen Energie gilt hier nicht mehr. Uns bleibt also

nur der Impulserhaltungssatz.

Vorgaben: m₁ = 50 g, m₂ = 60 g, v₁ = 2 m/s , v₂ = − 3 m/s

Hinweis: das Minuszeichen steht wegen der entgegengesetzten Richtung.

Lösung:

Das Minuszeichen bedeutet, dass sich der gemeinsame „Klumpen“

Knete in die gleiche Richtung wie m₂ bewegt.

Zur Veranschaulichung noch einmal eine Abbildung.

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