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Energie
Zusammenhang Energie−Arbeit
Um den Zusammenhang zwischen Arbeit und
Energie deutlich zu
machen, schauen wir uns zunächst einmal eine
Übungsaufgabe an.
Beispielaufgabe
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Aufgabe:
Man hebt
einen Körper mit der Masse m = 50 kg um 15 m.
Danach
wird er losgelassen und fällt im freien Fall auf den
Boden.
a.)
Bestimmen Sie die verrichtete Hubarbeit.
b.)
Nach welcher Zeit trifft der Körper auf dem Boden auf
(freier
Fall)?
Welche
Geschwindigkeit weist er dann auf?
c.)
Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit, die vom Kör-
per
(durch die Gewichtskraft) verrichtet wurde.
Lösung:
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Welche Erkenntnisse gewinnen wir aus der
Beispielaufgabe?
1.) Wenn man von außen Arbeit an einem Körper
verrichtet hat, hat er
neue Möglichkeiten. Er kann jetzt selber
Arbeit verrichten. Man muss
nicht mehr von außen eingreifen.
Die am Körper von außen verrichteter Arbeit geht also nicht verloren.
Sie wird im Körper
gespeichert und kann von ihm zur eigenen Arbeits-
verrichtung benutzt werden. Diese gespeichert Arbeit wird als Energie
bezeichnet. Der Körper hat einen neuen
Zustand erreicht. Er besitzt
jetzt Energie.
2.) Die vom Körper zu verrichtende Arbeit
(hier Beschleunigungsarbeit)
kann nie größer als die reingesteckte Arbeit
sein. Im Maximalfall ist sie
genauso groß wie die vorher von außen an ihm
verrichtete Arbeit
(s. unten: genauere Betrachtung).
Wir halten fest:
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Energie
Die an einem Körper verrichtete
Arbeit wird im Körper gespei-
chert. Man spricht
dann davon, dass der Körper Energie gewon-
nen hat.
Energie ist also so etwas wie „gespeicherte Arbeit“. Diese
Energie kann zur
Arbeitsverrichtung benutzt werden.
Oder anders formuliert:
Wenn ein Körper Arbeit verrichten
kann, muss er Energie besitzen.
Kurzform: Energie = Arbeitsvermögen
Aus der Festlegung ergibt sich,
dass Arbeit und Energie dieselbe
Einheit „Joule“ besitzen.
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Arbeit und Energie sind also ganz eng
miteinander verbunden. Arbeit
ist eine dynamische Größe. Es passiert etwas.
Energie ist eine statische Größe. Ein Körper
besitzt Energie durch be-
sondere Eigenschaften, die der Körper aufweist.
Wird an einem Körper Hubarbeit verrichtet,
speichert er diese Arbeit
als Lageenergie bzw. potentielle Energie. Ein
Körper besitzt somit
Lageenergie, wenn er höher als der Erdboden
liegt.
Ein Körper besitzt Bewegungsenergie bzw.
kinetische Energie, wenn
er sich bewegt, also eine bestimmte
Geschwindigkeit aufweist, weil er
durch Beschleunigungsarbeit auf diese
Geschwindigkeit gebracht
wurde.
Spannarbeit an einer Feder führt dazu, dass
die Feder Spannenergie besitzt.
Da die Energien sich jeweils aus den Arbeiten
ergeben, gelten auch die gleichen Formeln wie bei den Arbeiten.
Es ergibt sich somit:
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Mechanische
Energieformen
Potentielle Energie =
Lageenergie: Epot = m ∙ g ∙ h
Kinetische Energie =
Bewegungsenergie: Ekin = ½ ∙
m ∙ v2
Spannenergie:
Espann = ½ ∙ D ∙ s2
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Hierzu ein paar kleine Beispielaufgaben.
Beispielaufgaben zu den Energieformen
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Aufgabe
zur Lageenergie:
In
einem Freizeitpark wird an einem Fallturm die voll besetzte
Gondel
von 25,5 t auf 66m hochgezogen.
Wie groß
ist die potentielle Energie, die die Gondel dann auf-
weist?
Lösung:
Epot = m ∙ g ∙ h =
25 500 kg ∙ 9,81 N/kg ∙ 66 m = 16 510 230 J
= 16,51 MJ
Aufgabe
zur kinetischen Energie:
Ein PKW
mit einer Masse von 2,5 t fährt mit einer Geschwindigkeit
von 90
km/h. Welche kinetische Energie besitzt der PKW?
Lösung:
Ekin
= ½ ∙ m ∙ v2 = ½ ∙ 2500 kg ∙ (25 m/s)2
= 781 250 J
= 781,25
kJ
Aufgabe
zur Spannenergie:
An eine
Feder mit der Federkonstanten D = 120 N/m wird eine
Masse
von 2 kg gehängt. Die Feder wird dadurch gespannt. Wie
groß
ist jetzt die in der Feder gespeicherte Spannenergie?
Lösung:
Zunächst
muss die Ausdehnung mittels Hookeschem Gesetz be-
rechnet werden.
Es gilt
für die Kraftbeträge FF = FG, da im Ruhezustand (also
bei
angehängter
Masse) die Federkraft der Feder FF die nach unten
wirkende
Gewichtskraft FG der Masse aufhebt.
Ansatz: FF
= FG , also D ∙ x = m ∙
g umstellen nach x
x = ( m ∙ g ) / D = ( 2 kg ∙ 9,81 N/kg ) / 120
N/m = 0,1635 m
= 16,35 cm
also
beträgt die Ausdehnung 16,35 cm
Einsetzen
in die Formel für die Spannenergie ergibt
Espann = ½ ∙ D ∙ s2 = ½ ∙ 120
N/m ∙ (0,1635 m)2 = 1,603935 J
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Wir schauen uns noch einmal die erste
Beispielaufgabe an und ändern
die Fragestellung ein wenig.
Beispielaufgabe
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Aufgabe:
Man
hebt einen Körper mit der Masse m = 50 kg um 15 m. Da-
nach wird
er losgelassen und fällt im freien Fall herunter.
a.)
Bestimmen Sie die potentielle Energie, die die Masse nach
dem
Hochheben besitzt.
b.)
Man betrachtet jetzt die Masse beim Fall in einer Höhe von
10 m.
Wie
groß ist in dieser Höhe von 10 m die potentielle Energie und
die
kinetische Energie?
c.)
Bestimme die Summe aus kinetischer und potentieller Energie in h = 10 m und
vergleiche diese mit der am Anfang (h = 15 m)
vorliegenden
Energie.
Lösung:
zu a.) potentielle Energie = verrichtete
Hubarbeit = 7357,5 J (s.o.)
zu b.)
Berechnung von v in 10 m mit der Formel von oben ergibt:
s = 5 m; t = 1,009638 s; v = 9,904549 m/s
Ekin = ½ ∙ m ∙ v2 =
2452,5 J
Epot = m ∙ g ∙
h = 4905 J
zu c.) E(10m) = Ekin (10m) + Epot
(10m) = 2452,5 J + 4905 J =
7357,5 J = E (Anfang) = E (15m)
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Man erkennt, dass die am Anfang vorhandene
Energie (EStart) er-
halten bleibt, wenn der Körper Arbeit verrichtet,
d.h. es gilt:
Dies gilt allerdings nur, wenn von außen nach
dem Start keine weitere
Arbeit verrichtet wird, d.h. das System muss
geschlossen sein.
Man kann diese Gleichung auch ganz allgemein
zeigen, wie folgende
Herleitung zeigt:
Allgemeine
Herleitung
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Aufgabe:
Man hebt eine Masse m um die
Höhe h0. Danach lässt man die
Masse los. Die Masse fällt dann
um die Strecke s und befindet
sich auf der Höhe h1.
Berechne die Anfangsenergie!
Bestimme danach die Summe der
Energien ( Epot + Ekin ) in der Höhe
h1.
Lösung:
Berechnung der
Anfangsenergie EStart oder E0 :
E0 = m∙ g ∙
h0 = EStart
Berechnung der
Gesamtenergie zum Zeitpunkt t1 :
Es werden die
Formeln aus der ersten Beispielaufgabe benutzt.
E1 = m ∙
g ∙ h1 + ½ ∙
m ∙ v2 = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ ( g ∙ t1 )2
= m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ g2 ∙ (t1)2
= m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ g2 2 ∙ s / g
= m ∙ g ∙ h1 + m ∙ g ∙ s = m ∙
g ∙ ( h1 + s ) = m ∙ g ∙
h0
also gilt: E0 = E1 die Energie hat sich nicht verändert.
Die Energie ist konstant
geblieben.
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Diese Erkenntnis ist so wichtig, dass wir ihr
ein eigenes Kapitel wid-
men müssen. Es geht um
den Energieerhaltungssatz.
Hinweis: Wer sich fragt, was denn jetzt mit
der Startenergie passiert ist, wenn der Körper auf dem Boden ange-
kommen ist ( Epot = 0 J und Ekin = 0 J,
also Egesamt = 0 J, wo ist die Energie
hin?), sollte sich den zweiten Link
ansehen. Unser Problem ist, dass wir im
Augenblick nur über mechanische Energien sprechen.
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